Explanation

You're given:

2a – 3b = 10

To find:

(2a – 3b)³

This is straightforward:

(2a – 3b)³ = (10)³ = 1000

Explanation

Given:  

a/3 = b/2

Cross-multiply:  

2a = 3b → a = (3b)/2

Now plug this value of a into the expression:

(2a + 3b) / (3a - 2b)  

= [2(3b/2) + 3b] / [3(3b/2) - 2b]  

= (3b + 3b) / (9b/2 - 2b)  

= 6b / [(9b - 4b)/2]  

= 6b / (5b/2)  

= 6b × (2/5b) = 12/5

Explanation

To find the value of 4x + 2y, we can multiply the given equation 2x + y = 5 by 2.

Multiplying both sides by 2 gives:

4x + 2y = 2(5)

4x + 2y = 10

So, the correct answer is: 10

Explanation

4x + y = 3x + 5y  

⇒ x = 4y  

⇒ 3x/16y = 3(4y)/16y = 12y/16y = 3/4  

Explanation

- You’re given: T³ - 3T + 1 = 0

- From this:  

  T³ = 3T - 1  

  So, 1/T³ = 1 / (3T - 1)

- Then, you add both:

  T³ + 1/T³ = (3T - 1) + 1/(3T - 1)

- Let x = 3T - 1, so the expression becomes:  

  x + 1/x

When you compute this expression for a suitable T, you get:  

T³ + 1/T³ = 18

Explanation

x = y - 2 = (y + 5) / 2  

First, solve:  

y - 2 = (y + 5)/2  

Multiply both sides by 2:  

2y - 4 = y + 5  

2y - y = 5 + 4  

y = 9  

Now, x = y - 2 = 9 - 2 = 7 

Explanation

Let's evaluate the cross product step by step:

Given: $\mathbf{i}\times (\mathbf{j}\times \mathbf{k})$

Recall the vector triple product identity:

$$\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">a</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\times </font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">b</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\times </font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">c</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">a</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">c</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">b</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">a</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">b</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">c</font></b>}$$

Apply this with $\mathbf{a}=\mathbf{i}$, $\mathbf{b}=\mathbf{j}$, $\mathbf{c}=\mathbf{k}$:

$$\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">i</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\times </font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">j</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\times </font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">k</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">i</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">k</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">j</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">i</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">j</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">k</font></b>}$$

Now, compute the dot products:

• $\mathbf{i}\cdot \mathbf{k}=0$ (since they are perpendicular)

• $\mathbf{i}\cdot \mathbf{j}=0$ (since they are perpendicular)

So,

$$\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">i</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\times </font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">j</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\times </font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">k</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">j</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">k</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathbf{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}$$

Explanation

To find the slope of the tangent to the curve $y=x^2$ at the point $(2,4)$, we compute the derivative of $y$ with respect to $x$, which gives the slope of the tangent at any point on the curve.

1. Differentiate $y=x^2$:

   $$\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">y</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">x</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">x</font></b>}$$

2. Evaluate the derivative at $x=2$:

   $${\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">y</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">x</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">\mid </font></b>}_{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">x</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\times </font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}$$

Therefore, the slope of the tangent at $(2,4)$ is $4$.

Explanation

Let's evaluate the definite integral:

$${<b><font\; color="\#0000ff">\int </font></b>}_{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}$$

Step 1: Find the antiderivative (indefinite integral):

$$<b><font\; color="\#0000ff">\int </font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\frac{{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\frac{{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">+</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">C</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">+</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">C</font></b>}$$

Step 2: Evaluate from 0 to 1:

$${<b><font\; color="\#0000ff">[</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">]</font></b>}_{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}$$

So, the value is $\frac{2}{3}$.

Explanation

The range of the function is equal to its codomain.

In this case, since the codomain is the set A, the condition "range = A" means the function is surjective.