1∫0 (5t² - 2t) dt = _____?

Explanation

Let's evaluate the definite integral:

$${<b><font\; color="\#0000ff">\int </font></b>}_{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}$$

Step 1: Find the antiderivative (indefinite integral):

$$<b><font\; color="\#0000ff">\int </font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">d</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\frac{{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\frac{{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">+</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">C</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">+</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">C</font></b>}$$

Step 2: Evaluate from 0 to 1:

$${<b><font\; color="\#0000ff">[</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">t</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">]</font></b>}_{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">0</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">5</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">3</font></b>}}$$

So, the value is $\frac{2}{3}$.

Related MCQs

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Comment *

Name *

Email *

-- Select Reason -- Correction Suggestion

1 + 2 = ?

Post Comment