Cos2θ/Cos⁴θ-Sin⁴θ = _____?

Explanation

Let's simplify the expression:

$$\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}}{{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}}$$

Step 1: Simplify the denominator
Note that:

$${\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}{<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">+</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b>$$

Since ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, we have:

$${\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b><b><font\; color="\#0000ff">(</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">)</font></b><b><font\; color="\#0000ff">\cdot </font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}$$

(because $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$).

Step 2: Substitute back into the expression

$$\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}}{{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}<b><font\; color="\#0000ff">-</font></b>{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">sin</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>}^{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">4</font></b>}}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\frac{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}}{\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">cos</font></b>}<b><font\; color="\#0000ff"></font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">2</font></b>}\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">\theta </font></b>}}<b><font\; color="\#0000ff">=</font></b>\mathrm{<b><font\; color="\#0000ff">1</font></b>}$$

Therefore, the expression simplifies to 1.

Related MCQs

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Comment *

Name *

Email *

-- Select Reason -- Correction Suggestion

1 + 2 = ?

Post Comment